|
|
 |
Условие
Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?
Решение
Всего сумм 210, то есть по 105 сумм каждого знака. Пусть было х чисел одного знака и $y$ – другого. Нам надо минимизировать количество $xy$ отрицательных произведений. При фиксированной сумме произведение чисел тем меньше, чем дальше они друг от друга. Ни одно из чисел $х$ и $y$ не может быть больше 15 (иначе количество сумм одного знака будет больше 15·14:2 = 105), поэтому наилучший результат будет при х = 15, $y$ = 6 (или наоборот). При этом количество отрицательных произведений равно 90.
Нужное количество положительных сумм достигается, например, если 15 чисел равны 1, а шесть равны –2.
Ответ
120 произведений.
Замечания
4 балла
