ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66329
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Биссектриса угла ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Панов М.Ю.

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.


Решение

Проведём в общей точке $A$ этих окружностей касательные $l$ и $m$ соответственно. Угол между $l$ и хордой $AB$ равен $\angle C$. Угол между $m$ и хордой $AL$ равен  $\angle AKL = \angle KAC + \angle KCA = 2\angle KCA = \angle C$.  Следовательно, прямые $l$ и $m$ совпадают, что и требовалось.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 39
Дата 2017/18
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .