ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66701  (#1)

Тема:   [ Текстовые задачи (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

У Аладдина есть несколько одинаковых слитков золота, и иногда он просит джинна увеличить их количество. Джинн добавляет тысячу таких же слитков, но после этого берёт за услугу ровно половину от получившейся общей массы золота. Мог ли Аладдин оказаться в выигрыше после десяти таких просьб, если ни один слиток не пришлось распиливать?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66702  (#2)

Темы:   [ Дроби (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Существуют ли такие $2018$ положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных $2018$ дробей?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66706  (#3)

Тема:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В таблице $10\times10$ записано $100$ различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра («повернуть прямоугольник на $180^\circ$»). Всегда ли за $99$ ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66708  (#4)

Темы:   [ Композиция преобразований плоскости ]
[ Аффинная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что

а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66707  (#5)

Темы:   [ Теория групп (прочее) ]
[ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками «$!$» и «$?$», но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих: $a - b$, $b - a$ или $a + b$. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные a, b и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков «$!$», «$?$» записать выражение, которое гарантированно равно $20a - 18b$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .