|
|
 |
Условие
Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.
Решение
Пусть плоскости $\alpha$ и $\gamma$ пересекают плоскость $\beta$ по прямым $a$ и $b$ и составляют с ней углы $\varphi$ и $\psi$ соответственно. Совместим $\alpha$ с $\beta$ поворотом на угол $\varphi$ вокруг $a$. Аналогично совместим $\gamma$ с $\beta$. Тогда всё происходит в плоскости $\beta$. Сначала происходит сжатие к прямой $a$ с коэффициентом $\cos \varphi$ , а потом – сжатие к прямой $b$ с коэффициентом $\cos \psi$. Очевидно, что $a$ и $b$ не параллельны.
Сжатие – аффинное преобразование. Поскольку композиция этих преобразований – тоже аффинное преобразование – перевела исходный правильный треугольник в подобный, то она – подобие. У этого подобия есть неподвижная точка – точка $O$ пересечения прямых $a$ и $b$.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
б) Предположим, $a$ и $b$ не перпендикулярны. Пусть точки $X$ и $Y$ лежат на $a$ и $b$ соответственно и угол $XOY$ острый. После первого сжатия $X$ остаётся на месте, а $Y$ переходит внутрь угла $XOY$. После второго – обе точки оказываются внутри угла $XOY$. То есть угол уменьшился, это не подобие, противоречие.
a) Так как угол $XOY$ прямой, то он переходит в себя при композиции данных сжатий. Значит, это гомотетия с положительным коэффициентом $k$. Будем считать векторы $\overline{OX}$ и $\overline{OY}$ базисными. Точка $(x, y)$ перейдёт сначала в $(x, y \cos \varphi )$, затем – в $(x \cos \psi , y \cos \varphi ) = (xk, yk)$. Значит, $\varphi = \psi$.
Второй способ.
(Идея Zhi Kin Loke) Рассмотрим описанную окружность $\Omega$ исходного треугольника. Первая проекция переводит $\Omega$ в эллипс, большая ось которого параллельна прямой $a$. Длина этой оси равна диаметру $d$ окружности $\Omega$, а длина малой оси равна $d \cos \varphi $.
Поскольку композиция двух наших проекций – подобие, эллипс при второй проекции перейдёт в окружность $\omega$. Все диаметры эллипса (хорды, проходящие через его центр), станут диаметрами окружности $\omega$. Их длины уменьшатся, кроме хорды, параллельной прямой $b$. Поэтому малая ось параллельна $b$ и сохранит свою длину, а длина большой оси умножится на $\cos \psi$. Отсюда следует как перпендикулярность прямых $a$ и $b$ (параллельных осям эллипса), так и равенство $d \cos \varphi = d \cos \psi$, то есть равенство углов $\varphi$ и $\psi$.
