ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Турниры:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 1619]      



Задача 97956

Темы:   [ Симметричная стратегия ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Иванов В.

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
  б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97997

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Назаров Ф.

Положительные числа a, b, c таковы, что  a ≥ b ≥ c  и  a + b + c ≤ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98000

Темы:   [ Развертка помогает решить задачу ]
[ Обход графов ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Куб ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин С.В.

Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98007

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Назаров Ф.

Положительные числа a, b, c, d таковы, что  a ≤ b ≤ c ≤ d  и  a + b + c + d ≥ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98127

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Шлейфер Р.

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > S/n–1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 1619]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .