ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      



Задача 66865

Темы:   [ Окружности (прочее) ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66866

Тема:   [ Таблицы и турниры (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66870

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Каждый из квадратных трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$ с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66871

Тема:   [ Вписанный угол (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66875

Тема:   [ Окружности (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .