Задача 66865

Темы:    [ Окружности (прочее) ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Дворянинов С.

На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?

Решение

Треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда некоторые две его вершины — диаметрально противоположные точки его описанной окружности. Каждой паре диаметрально противоположных точек соответствуют ровно 98 прямоугольных треугольников, для разных пар они различны. Поэтому общее количество прямоугольных треугольников делится на 98, но 1000 не делится на 98.

Ответ

не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1