Задача 66866
|
|
 |
Условие
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, чтоа) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
Решение
По условию каждый сыграл 7 партий, а всего было сыграно $8\cdot 7:2=28$ партий. Поскольку каждый год играется 7 партий, кубок разыгрывался 4 раза.а) Игрок, сыгравший в полуфинале не более одного раза, за 4 года сыграл не более $3 + 3\cdot1 = 6$ партий, что противоречит условию.
б) Всего в четырёх финалах было $2\cdot 4=8$ мест. Если кто-то не играл в финале, то кто-то другой должен был сыграть в финале как минимум дважды. Но тогда он сыграл не меньше $2\cdot3 + 2\cdot1 = 8$ партий, что противоречит условию.
