Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XXI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2025 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $D$. Докажите, что педальные окружности $D$ относительно треугольников $ABI_A$ и $ACI_A$ равны.
Решение
Убрать все задачи
Вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $D$. Докажите, что педальные окружности $D$ относительно треугольников $ABI_A$ и $ACI_A$ равны.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $D$ – произвольная точка отрезка $AC$; $A_1$, $A_2$ – точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на биссектрису $CI$, с прямыми $BC$ и $AI$ соответственно. Аналогично определяются точки $C_1$, $C_2$. Докажите, что шесть точек $B$, $A_1$, $A_2$, $I$, $C_1$, $C_2$ лежат на одной окружности.
Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сторон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку, квадрат расстояния от которой до одной из вершин треугольника равен сумме квадратов расстояний до двух других. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу и отмечать точки пересечения линий сгиба.
На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется точка $Z$ такая, что для любой из данных точек точка, симметричная ей относительно $Z$, лежит на окружности, проходящей через оставшиеся данные точки.
Вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $D$. Докажите, что педальные окружности $D$ относительно треугольников $ABI_A$ и $ACI_A$ равны.
Точка $M$ – середина катета $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на биссектрису угла $ABC$, пересекает гипотенузу $AB$ в точке $N$. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника $ANM$, касается биссектрисы угла $ABC$.
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 67523 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67532 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67524 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67525 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67527 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
