Условие
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $D$ – произвольная точка отрезка $AC$; $A_1$, $A_2$ – точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на биссектрису $CI$, с прямыми $BC$ и $AI$ соответственно. Аналогично определяются точки $C_1$, $C_2$. Докажите, что шесть точек $B$, $A_1$, $A_2$, $I$, $C_1$, $C_2$ лежат на одной окружности.
Решение
Рассмотрим конфигурацию, изображенную на рисунке, для других рассуждения аналогичны.
Так как $DC_2 \perp AI$, получаем
$\angle C_1C_2I = \angle DC_2I = \angle AIC - 90^\circ = \angle ABI = \angle C_1BI,$
т.е. точки $B$, $I$, $C_1$, $C_2$ лежат на одной окружности. Аналогично $B$, $I$, $A_1$, $A_2$ лежат на одной окружности. Кроме того, точки $C_1$ и $A_1$ симметричны $D$ относительно $AI$, $CI$ соответственно, поэтому $\angle BC_1I = \angle IDC = \angle IA_1C$, следовательно, точки $B$, $I$, $A_1$, $C_1$ лежат на одной окружности. Таким образом, все шесть точек лежат на одной окружности.
Источники и прецеденты использования
