Условие
На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется точка $Z$ такая, что для любой из данных точек точка, симметричная ей относительно $Z$, лежит на окружности, проходящей через оставшиеся данные точки.
Решение
Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ – данные точки; $K$, $L$, $M$, $N$, $P$, $Q$ – середины отрезков $AB$, $BC$, $CA$, $BD$, $CD$, $AD$. Чтобы точка, симметричная $D$ относительно $Z$, лежала на окружности $ABC$, необходимо и достаточно чтобы $Z$ лежала на окружности $NPQ$. Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что окружности $NPQ$, $KMQ$, $KLN$ и $LMP$ имели общую точку. Обозначим через $Z$ вторую точку пересечения окружностей $KLN$ и $NPQ$.
Тогда $\angle LZN = \angle LKN = \angle CAD$ (последнее равенство следует из того, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel AD$ как средние линии треугольников $ABC$, $ABD$ соответственно). Аналогично $\angle NZP = \angle BAC$ и, значит, $\angle LZP = \angle BAC = \angle LMP$. Следовательно, $Z$ лежит на окружности $LMP$. Аналогично получаем, что $Z$ лежит на окружности $KMQ$.
Замечания
Задачу также можно решить, воспользовавшись тем фактом, что окружности девяти точек треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ имеют общую точку. Точка $Z$ симметрична этой точке относительно центра тяжести точек $A$, $B$, $C$, $D$.
Источники и прецеденты использования
