Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XXI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2025 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $A'$, $B'$, $C'$ – ортоцентры треугольников $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_a$, $M_b$, $M_c$ – середины $BC$, $CA$, $AB$, а $S_a$, $S_b$, $S_c$ – середины $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что $M_aS_a$, $M_bS_b$, $M_cS_c$ пересекаются в одной точке.
Сфера, вписанная в тетраэдр $ABCD$, касается граней $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D'$, $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Обозначим через $S_{AB}$ площадь треугольника $AC'B$. Аналогично определим $S_{AC}$, $S_{BC}$, $S_{AD}$, $S_{BD}$, $S_{CD}$. Докажите, что из отрезков с длинами $\sqrt{S_{AB}S_{CD}}$, $\sqrt{S_{AC}S_{BD}}$, $\sqrt{S_{AD}S_{BC}}$ можно составить треугольник.
Дан четырехугольник $ABCD$. Вневписанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$ и $BCD$, касающиеся сторон $AB$ и $BD$ соответственно, касаются продолжения стороны $BC$ в общей точке $P$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_1$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что один из углов $RPQ$ и $SPQ$ прямой.
Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $P$ на отрезках $AC$, $BD$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. При этом $CK = AP$ и $DL = BP$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $ALC$ и $BKD$, содержит центр масс четырехугольника $ABCD$.
Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 67541 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67546 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67540 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67530 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67538 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
