Условие
Сфера, вписанная в тетраэдр $ABCD$, касается граней $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D'$, $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Обозначим через $S_{AB}$ площадь треугольника $AC'B$. Аналогично определим $S_{AC}$, $S_{BC}$, $S_{AD}$, $S_{BD}$, $S_{CD}$. Докажите, что из отрезков с длинами $\sqrt{S_{AB}S_{CD}}$, $\sqrt{S_{AC}S_{BD}}$, $\sqrt{S_{AD}S_{BC}}$ можно составить треугольник.
Решение
Будем использовать известный факт, что
$$\angle AC'B = \angle AD'B = \angle CA'D = \angle CB'D,$$
и три аналогичных равенства. Обозначим через $a$, $b$, $c$, $d$ и $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ длины касательных к сфере из точек $A$, $B$, $C$, $D$ и углы $BD'C$, $CD'A$, $AD'B$ соответственно.
Тогда $$S_{AB}S_{CD} = \frac{abcd \sin 2\gamma}{4}.$$
Поскольку углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ меньше $\pi$, утверждение задачи равносильно существованию треугольника со сторонами, равными $\sin \alpha$, $\sin \beta$, $\sin \gamma$, которое, очевидно, следует из равенства $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$. Например, можно взять треугольник, образованный прямыми, перпендикулярными $D'A$, $D'B$, $D'C$.
Источники и прецеденты использования
