Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 67531

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Марданов А., Марданова К.

Прямая $\ell$, проходящая через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ ($BC > AB$) и параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная его медиане $BM$, пересекает прямую $\ell$ в точке $F$. Докажите, что длина отрезка $HF$ втрое больше разности отрезков $FE$ и $DH$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67533

Темы:	[	Точка Торричелли	]
Темы:	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Через точку $X$ проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные $120^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $R$ выбирается произвольным образом так, чтобы точка $X$ лежала внутри неё. Пусть $A$, $B$, $C$ – точки пересечения лучей с окружностью. Найдите $\max(XA + XB + XC)$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67545

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Спивак Н.

Будем говорить, что множество $M$ точек плоскости содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в $M$, но содержащийся внутри многоугольника, граница которого лежит в $M$. Можно ли представить плоскость в виде объединения $n$ таких выпуклых множеств, что объединение любых $n - 1$ из них имеет дыры?

Прислать комментарий Решение

Задача 67536

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

На биссектрисе угла $B$ внутри треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ – окружности, касающиеся прямых $AD$ и $CD$ в точке $D$ и проходящие через точку $B$; $P$ и $Q$ – отличные от $B$ точки пересечения $\omega_1$ и $\omega_2$ с описанной окружностью $ABC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PQD$ и $ACD$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 67539

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Формула Эйлера	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Пучков П., Уткин Е.

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$; $D$, $E$, $F$ – точки касания его вневписанной окружности со стороной $BC$ и продолжениями сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что если ортоцентр треугольника $DEF$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то он симметричен середине дуги $BC$ относительно прямой $OI$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]