Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XXI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2025 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Пусть $AL$ – биссектриса треугольника $ABC$; $X$ – произвольная точка на внешней биссектрисе угла $A$; прямые $BX$, $CX$ пересекают серединный перпендикуляр к $AL$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $X$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
Даны окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $M$ – середина отрезка, соединяющего их центры. На $\omega_1$ выбрана точка $X$, а на $\omega_2$ – точка $Y$ так, что $MX = MY$.
Найдите геометрическое место середин отрезков $XY$.
Дан выпуклый $2n$-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при
движении от одной к другой по контуру $2n$-угольника нужно пройти $n - 1$ других
сторон.) Пару противоположных сторон назовём правильной, если у них есть общий
перпендикуляр, концы которого принадлежат самим сторонам, а не их продолжениям. Каково наименьшее возможное количество правильных пар?
Точка $C$ лежит на биссектрисе острого угла с вершиной $S$. Точки $P$, $Q$ – проекции $C$ на стороны угла. Окружность с центром $C$ и радиусом $PQ$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, причем $SA \ne SB$. Докажите, что окружность с центром $A$, касающаяся $SB$, и окружность с центром $B$, касающаяся $SA$, касаются друг друга.
Докажите, что если у треугольника одна из сторон его треугольника Нагеля параллельна одной из биссектрис, то ещё одна из сторон треугольника Нагеля параллельна другой биссектрисе.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 67526 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67534 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67535 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67537 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67528 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
