Задача 67528

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что если у треугольника одна из сторон его треугольника Нагеля параллельна одной из биссектрис, то ещё одна из сторон треугольника Нагеля параллельна другой биссектрисе.

Решение 1

Пусть стороны $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ треугольника $ABC$ касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках $A'$, $B'$, $C'$, и прямая $C'A'$ параллельна биссектрисе $AA_1$ угла $A$. Так как $BC' = p-a$, $BA' = p-c$, $BA_1 = ac/(b+c)$, условие параллельности равносильно $BA:BC' = BA':BA_1$ и равносильно равенству $a : (b + c) = (p - c) : (p - a)$, которое приводится к виду $(p - a)(p - b) = p(p - c)$. Такое же равенство получим, если $B'C'$ параллельно биссектрисе угла $B$.

Решение 2

Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ – половины углов $A$, $B$, $C$ треугольника, $I$, $I'$ и $I''$ – центр вписанной окружности и центры $A$- и $B$- вневписанных окружностей, $C'A' \parallel CI$. Известно, что $I'C' \perp AB$, $I'C \perp CI$, поэтому $$CA' = AC' = ra \operatorname{tg} \angle CI'A' = ra \operatorname{tg} \gamma.$$ Расстояние от точки $A'$ до $AI$ равно $AC' \sin \gamma$. Поскольку $\angle BI'A' = \beta$, $$\angle BI'A = 180^\circ - \alpha - (90^\circ + \beta) = \gamma,$$ то $\angle AI'A' = \gamma - \beta.$ Расстояние от точки $C'$ до $AI'$ равно $$I'C' \sin \angle AI'C' = ra \sin (\gamma - \beta) = AC' \sin \alpha = ra \operatorname{tg} \gamma \cos(\gamma+\beta).$$ Поэтому $\sin (\gamma-\beta) \cos \gamma = \cos(\gamma+\beta) \sin \gamma.$ Значит, $\sin^2 \gamma \sin \beta = \cos^2 \gamma \sin \beta$ и $\gamma = 45^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B'CI'' = \angle CI''B' = 45^\circ$, отсюда $BA' = AB' = B'I''$, $\angle BI''B' = 45^\circ - \angle CI''B = \beta.$ Следовательно, $A'BI''B'$ – это равнобедренная трапеция и $C'B' \parallel BI$.

Замечания

1. Треугольник Нагеля – треугольник, образованный точками касания вневписанных окружностей данного треугольника с его сторонами.

2. Условие задачи выполнено для любого прямоугольного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
Заочный тур
задача
Номер	6 [8-9 кл]