Условие
Прямая $\ell$, проходящая через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ ($BC > AB$) и параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная его медиане $BM$, пересекает прямую $\ell$ в точке $F$. Докажите, что длина отрезка $HF$ втрое больше разности отрезков $FE$ и $DH$.
Решение
Пусть $BM$ пересекает $DE$ в точке $N$. Поскольку $BH = 2 OM$ (см. задачу
53528), а также $OM \parallel BH$ и $OF \parallel BM$, получаем $HN = 2 NF$. Поскольку $BM$ – медиана, а $DE \parallel AC$, получаем $$DH + HN = DN = NE = NF + EF.$$ Следовательно, $$EF - DH = HN - NF = NF = HF/3.$$
Источники и прецеденты использования
