Условие
Вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $D$. Докажите, что
педальные окружности $D$ относительно треугольников $ABI_A$ и $ACI_A$ равны.
Решение
Пусть $P_1$, $P_2$, $Q_1$, $Q_2$, $R$ – проекции точки $D$ на $AC$, $AB$, $I_AC$, $I_AB$, $AI_A$ соответственно. Так как $P_1$, $P_2$, $R$ лежат на окружности с диаметром $AD$ и $AR$ – биссектриса угла $P_1AP_2$, то $P_1R = P_2R$. Кроме того, из вписанных четырехугольников $CP_1DQ_1$ и $I_AQ_1DR$ получаем, что
$$\angle P_1Q_1R = \angle P_1Q_1D + \angle DQ_1R = 2 \angle P_1CD+\angle DI_AR = (\angle B +\angle C)/2.$$
Аналогично, $\angle P_2Q_2R = (\angle B +\angle C)/2$. Поскольку в окружностях $P_1Q_1R$ и $P_2Q_2R$ на равные хорды опираются равные углы, эти окружности равны.
Замечания
Можно также доказать, что окружности $P_1Q_1R$ и $P_2Q_2R$ касаются в точке $R$.
Источники и прецеденты использования
