Условие
Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сторон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку, квадрат расстояния от которой до одной из вершин треугольника равен сумме квадратов расстояний до двух других. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу и отмечать точки пересечения линий сгиба.
Решение
Пусть высота $CH$ треугольника $ABC$ равна стороне $AB$, $AC > BC$. Тогда для любой точки $X$, лежащей на высоте из вершины $A$,
$$XC^2 -XB^2 = AC^2 -AB^2 = AC^2 - CH^2 = AH^2.$$
Следовательно, достаточно построить на этой высоте точку, для которой $AX =
AH$.
Перегнем треугольник по прямым, проходящим через $A$ и $C$, перпендикулярным
$BC$ и $AB$ соответственно, отметим точку $H$. Затем перегнем так, чтобы сторона $AB$ совместилась с высотой из $A$ и отметим точку $X$, с которой совместилась $H$.
Источники и прецеденты использования
