ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]      



Задача 97790

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Раскладки и разбиения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].

Прислать комментарий     Решение

Задача 109704

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Неравенство Коши ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 107992

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел pn = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b при k = 4; при k = 5?

Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
Прислать комментарий     Решение


Задача 35708

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Неопределено ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67257

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Арифметические функции (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму $$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$ Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .