Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 52]
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Для каждой пары действительных чисел
a и
b рассмотрим последовательность
чисел
pn = [2{
an +
b}]. Любые
k подряд идущих членов этой
последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из
нулей и единиц длины
k будет словом последовательности, заданной некоторыми
a и
b при
k = 4; при
k = 5?
Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1.
Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число
встречается ровно один раз.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$
Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 52]