ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66474
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak таких, что , у уравнения не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Решение

Обозначим .

Предположим, что натуральное число n является решением уравнения из условия задачи. Пусть ri – это остаток от деления n на ai, иными словами, . Тогда

откуда .

Таким образом, при заданном наборе чисел (r1, ..., rk), удовлетворяющих условиям 0 ≤ ri < ai, может быть не более одного натурального решения n с таким набором остатков. Всего таких наборов ровно a1a2...ak, поэтому и количество решений уравнения не больше a1a2...ak.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 81
Год 2018
класс
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .