Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]

Задача 58396

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB^.CD + BC^.AD $\ge$ AC^.BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то

$\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_... ...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6. \end{multline*}$

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52355

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64319

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство AB·CD + AC·BD > AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66933

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Построения с помощью вычислений	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий Решение

Задача 67129

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
Темы:	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Матвеев А., Фролов И.И.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]