ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66933
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Построения с помощью вычислений ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

Решение

Так как $ABCD$ – вписанный, то $AL\cdot LC=BL\cdot LD$, т.е. мы знаем длину отрезка $DL$. Пусть $|AL|=a$, $|BL|=b$, $|CL|=c$, $|DL|=d$.

Пусть окружность, вписанная в $ABCD$, касается сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Известно, что в описанном четырехугольнике прямые $PR$ и $QS$ проходят через $L$. Кроме того, поскольку $ABCD$ – вписанный, $PR$ и $QS$ являются биссектрисами углов между $AC$ и $BD$.

Пусть $AS=AP=a'$, $BP=BQ=b'$, $CQ=CR=c'$, $DR=DS=d'$. По теореме о биссектрисе $AL:LB=AP:PB$, т.е. $a':a=b':b$. Аналогично получаем, что $a':a=b':b=c':c=d':d$. Обозначим это отношение через $x$. Тогда $AB=(a + b)x$, и аналогичные выражения получаем для $BC$, $CD$ и $DA$.

По теореме Птолемея $AB\cdot CD+BC\cdot DA=AC\cdot BD$, откуда находим $$x=\sqrt{(a + c)(b + d)/((a + b)(c + d) + (b +c)(d + a))}.$$ Используя это значение $x$, мы можем построить циркулем и линейкой отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, а значит и четырехугольник $ABCD$.

Замечания

Можно также выразив длины отрезков $LP$, $LQ$, $LR$, $LS$ через $a$, $b$, $c$, $d$ и угол $\varphi=\angle ALB$, найти $\cos\varphi$ из равенства $PL\cdot LR=QL\cdot LS$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2020
Заочный тур
задача
Номер 21 [10-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .