ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]      



Задача 111908

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64347

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Ломаные ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109852

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Раскраски ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Системы точек ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115364

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n×n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116590

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шмаров В.

На окружности отмечено 2N точек (N – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .