ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 79]      



Задача 116632

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110068

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Певзнер И.

Множество клеток на клетчатой плоскости назовем ладейно связным, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73786

Темы:   [ Перестройки ]
[ Полуинварианты ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Шлейфер Р.

Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109939

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .
Прислать комментарий     Решение


Задача 78782

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 79]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .