Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 79]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n > 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Множество клеток на клетчатой плоскости назовем ладейно связным, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 7,8,9
|
Дано
n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не
более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами,
идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника
называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника
клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая.
Пусть
A – количество черных отрезков на периметре,
B –
количество белых, и пусть многоугольник состоит из
a черных
и
b белых клеток. Докажите, что
A-B=4(
a-b)
.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
n точек расположены в вершинах выпуклого
n-угольника. Внутри этого
n-угольника отметили
k точек. Оказалось, что любые три из
n +
k точек не
лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему
может быть равно число
k?
Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 79]