ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 79]      



Задача 116053

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109568

Темы:   [ Системы точек ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Мусин О.

На прямой отмечены n различных синих точек и n различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.
Прислать комментарий     Решение


Задача 97806

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M1 – множество m расположенных подряд вершин и M2 – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M1 отличается от количества закрашенных вершин в M2 не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  kn  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66027

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111908

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 79]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .