ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64347
Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Ломаные ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.


Решение

  Докажем по индукции более сильный факт: пусть A0 – произвольная точка на одной из данных прямых, через которую не проходит ни одна из остальных прямых; тогда существует требуемая ломаная, начинающаяся с A0.

  База. При  n = 1  ломаная (из одного отрезка) строится тривиально.
  Шаг индукции. Пусть l1, ..., ln – данные прямые, A0 лежит на ln, A1 – ближайшая к A0 точка пересечения ln с остальными прямыми (если ближайших точек две, выберем любую из них). Можно считать, что A1 лежит на ln–1.
  По предположению индукции существует несамопересекающаяся ломаная A1A2...An, начинающаяся с A1 и содержащая по одному звену на каждой из прямых l1, ..., ln–1. Тогда A0A1...An – требуемая ломаная.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .