Страница:
<< 5 6 7 8 9 10
11 >> [Всего задач: 54]
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m.
Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что
S(3n) ≥ S(3n+1).
|
|
Сложность: 5+ Классы: 10,11
|
Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9,
7, 3, и
плохим — в противном случае. (Например, число
197 639 917 — плохое, а
116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное
число n, что среди всех
n-значных чисел
(от 10n – 1 до
10n – 1) больше хороших, чем плохих.
Постарайтесь найти возможно меньшее такое n.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 10,11
|
Докажите, что числа вида 2
n при различных целых положительных
n могут
начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.
|
|
Сложность: 8+ Классы: 10,11
|
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное
число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что
n не
меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной
стратегии T второго игрока сопоставим функцию
fT(
n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано
число n. Пусть, например,
стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что
n не меньше 10?», «верно ли, что
n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что
n не меньше 10(
k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что
n не меньше
10k + 1», «верно ли, что
n не меньше
10k + 2» и так далее. Тогда
fT(n) = a + 2 + (n – a)/10, где
a — последняя цифра
числа n, то есть
fT(
n) растёт примерно
как n/10.
а) Предложите стратегию, для которой функция fT растёт медленнее.
б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции fT ввести функцию fT, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел fT(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу fT для произвольной стратегии T.
Страница:
<< 5 6 7 8 9 10
11 >> [Всего задач: 54]