|
|
 |
Условие
Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.
Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?
Решение
Первый способ. Всего имеется 77 гирь, массы которых равны ln 3, ln 4, ln 5, ..., ln 79 г. Положим на левую чашу весов гири массой ln 3 г и ln 4 г, а на правую – гирю массой ln 5 г. Тогда разность масс на чашах будет равна ln 3 + ln 4 – ln 5 = ln 2,4 г, где 0 < ln 2,4 <
ln e = 1, то есть весы будут в равновесии. Разобьём оставшиеся 74 гири на 37 пар: {ln 6, ln 7}, {ln 8, ln 9}, ..., {ln 78, ln 79}. Последовательно будем брать пары и класть более тяжелую гирю на чашу, на которой в данный момент лежат гири с меньшей суммарной массой (обозначим эту суммарную массу в граммах через L), а более легкую гирю на чашу, на которой в данный момент лежат гири с большей суммарной массой (обозначим эту суммарную массу через H). Если суммарные массы на обеих чашах совпадают (L = H), то положим на произвольную чашу одну гирю пары, а на другую чашу – вторую гирю пары. Тогда с учётом неравенства 0 ≤ H – L < 1 после очередного докладывания разность масс на чашах будет равна (H + ln n) – (L + ln (n + 1)), что меньше H – L < 1 и при этом больше ln n – ln (n + 1) = ln n/n+1 > ln ½ > –1.
Таким образом, после докладывания очередной пары гирь весы будут оставаться в равновесии, которое сохранится и при распределении всех гирь по чашам в соответствии с описанным алгоритмом.
Второй способ. Положим на левую чашу весов гири массами ln 3, ln 5, ln 7, ..., ln 79 г, а на правую – гири массами ln 4, ln 6, ln 8,
..., ln 78 г. Масса на левой чаше будет больше, чем на правой, причём разница составит ln (3·5/4·7/6·...·79/78) > ln 3 > 1.
Далее будем последовательно брать пары гирь {ln 79, ln 78}, {ln 77, ln 76}, ..., {ln 5, ln 4}, (гири в каждой паре лежат на разных чашах весов) и для каждой пары менять составляющие её гири местами (гирю с левой чаши перекладывать на правую и наоборот). Если эта операция будет проделана для каждой пары, то разность между суммарными массами гирь на левой и правой чашах составит ln (3·4/5·6/7·...·78/79) < ln 3·4/5 < 1.
В процессе перекладывания гирь {ln n, ln (n + 1)}, образующих пару, эта разность уменьшается на 2(ln (n + 1) – ln n) = ln n/n+1 < 2 ln 2 < 2
г. Значит, в результате первого такого перекладывания, после которого масса на левой чаше станет меньше, чем масса на правой чаше плюс 1 г,
весы будут находиться в равновесии.
Ответ
Можно.
