Версия для печати
Убрать все задачи
Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.
Решение
Дана клетчатая полоска (шириной в одну клетку), бесконечная в обе стороны. Две клетки полоски являются ловушками, между ними – N клеток, на одной из которых сидит кузнечик. На каждом ходу мы называем натуральное число, после чего кузнечик прыгает на это число клеток влево или вправо (по своему выбору). При каких N можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек, где бы он ни был изначально между ловушками и как бы ни выбирал направления прыжков? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)
Решение
Девочки на улице. На улице, став в кружок, разговаривают четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Нина. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Ниной. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье на каждой из девочек?
Решение
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены,
причём Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют
такие многочлены T(x) и R(x), что
P(x) = Q(x)T(x) + R(x) и deg R(x) < degQ(x); при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.
Решение
На сторонах
AB,
BC и
CD параллелограмма
ABCD
взяты точки
K,
L и
M соответственно, делящие эти стороны
в одинаковых отношениях. Пусть
b,
c,
d — прямые,
проходящие через
B,
C,
D параллельно прямым
KL,
KM,
ML
соответственно. Докажите, что прямые
b,
c,
d проходят
через одну точку.
Решение
Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0?
Решение
Фильтр
