Версия для печати
Убрать все задачи
Будем называть клетчатый многоугольник выдающимся, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.).
а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.
б) При каких
n > 4 существует выдающийся многоугольник из
n клеток?
Решение
CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что AP = AQ. Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?
Решение
В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две
окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним
образом. Центр первой окружности находится на отрезке,
соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй
окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с
серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD
и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите
AC.
Решение
Даны параллелограмм
ABCD и некоторая точка
M.
Докажите, что
SACM = |
SABM±
SADM|.
Решение
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Решение
На доске написано число 8
n. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если
n = 1989?
Решение
Внутри данного треугольника
ABC найдите такую
точку
O, что площади треугольников
BOL,
COM и
AON
равны (точки
L,
M и
N лежат на сторонах
AB,
BC и
CA,
причем
OL ||
BC,
OM ||
AC и
ON ||
AB; рис.).
Решение
Фильтр
