Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

---

Докажите, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h₁, h₂, h₃, то его объём не меньше ⅓ h₁h₂h₃.

   Решение

---

Луч света, пущенный из точки M, зеркально отразившись от прямой AB в точке C, попал в точку N.
Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна прямой AB. (Угол падения равен углу отражения.)

   Решение

---

Решите уравнение  

   Решение

---

Две окружности пересекаются прямой l, как указано на рисунке. Докажите, что угол  ∠ABC = ∠DEM.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52821

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что CBD = 58^o, ABD = 44^o, ADC = 78^o. Найдите угол CAD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32034

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются прямой l, как указано на рисунке. Докажите, что угол  ∠ABC = ∠DEM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35070

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52775

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что  OE = 1,  а точки C, D, E и O лежат на одной окружности. Найдите стороны и углы треугольника EDO.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53950

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности, причём центр O окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что  ∠KON + ∠MOL = 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями