Задача 53950

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности, причём центр O окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что  ∠KON + ∠MOL = 180°.

Подсказка

OK, OL, OM и ON – биссектрисы равнобедренных треугольников AOB, BOC, COD и DOA, проведённые к основаниям.

Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники AOB, BOC, COD и DOA. Их медианы OK, OL, OM и ON являются биссектрисами углов AOB, BOC, COD и DOA соответственно, поэтому  ∠KON + ∠MOL = (½ ∠AOD + ½ ∠AOB) + (½ ∠BOC + ½ ∠COD) = 180°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1714