Версия для печати
Убрать все задачи
Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов x² + ax + b и x² + bx + a имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
Решение
Восстановите прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) по вершинам A, C и точке на биссектрисе угла B .
Решение
Точки
A,
B,
C лежат на прямой
l, а точки
A1,
B1,
C1 — на прямой
l1. Докажите, что точки пересечения
прямых
AB1 и
BA1,
BC1 и
CB1,
CA1 и
AC1 лежат на
одной прямой (Папп).
Решение
Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в
точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$,
соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются
аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в
одной точке.
Решение
Прямые
a,
b,
c пересекаются в одной точке
O.
В треугольниках
A1B1C1 и
A2B2C2 вершины
A1 и
A2 лежат
на прямой
a;
B1 и
B2 — на прямой
b;
C1 и
C2 —
на прямой
c.
A,
B,
C — точки пересечения прямых
B1C1
и
B2C2,
C1A1 и
C2A2,
A1B1 и
A2B2 соответственно.
Докажите, что точки
A,
B,
C лежат на одной прямой (Дезарг).
Решение
Дана правильная треугольная пирамида
BCDE (
B – вершина,
CDE – основание). Известно, что
CD = a ,
BC = b . Пирамиду
пересекает плоскость
γ , параллельная рёбрам
BC и
DE .
На каком расстоянии от ребра
DE должна быть проведена плоскость
γ , чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была
наибольшей?
Решение
Решите уравнение
cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Решение
Фильтр
