ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65250
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.


Решение

Из условия следует, что трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеют общий корень x0, а также отличные от него корни x1 и x2 соответственно; в частности,  a ≠ b.  Общий корень является также корнем разности этих трёхчленов, то есть  (a – b)(x0 – 1) = 0.  Таким образом,  x0 = 1.  Подставляя этот корень в любой трёхчлен, получаем  1 + a + b = 0,  По теореме Виета  x0 + x1 = – ax0 + x2 = – b,  откуда  x0 + x1 + x2 = – x0ab = –(1 + a + b) = 0.


Ответ

0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .