Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что для монотонно возрастающей функции
f (
x)
уравнения
x =
f (
f (
x)) и
x =
f (
x) равносильны.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано,
что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Функции f(x) – x и f(x²) – x6 определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция 
также возрастает при всех положительных x.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На отрезке [0; 1] задана
функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна,
f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел
x1 и
x2, сумма которых не
превосходит 1, величина
f (x1 + x2) не превосходит суммы величин
f(x1) и
f(x2).
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?
Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
Тема:
Все темы
>>
Математический анализ
>>
Функции одной переменной. Непрерывность
>>
Монотонность, ограниченность
