Задача 109602

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Сендеров В.А., Ященко И.В.

Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .

Решение

Корней нет. Покажем, что при всех x справедливо неравенство

cos(cos(cos(cos x)))> sin(sin(sin(sin x))). (1)
Достаточно это доказать для x[0,2π ] . Если x[π ,2π ] , то утверждение очевидно: для таких x выполнено cos(cos(cos(cos x)))>0 , а sin(sin(sin(sin x)))0 . Пусть x [0,] . Тогда каждое из чисел cos x , sin x , cos(cos x) , sin(sin x) , cos(cos(cos x)) , sin(sin(sin x)) неотрицательно и не превосходит 1. Так как всегда sin x+ cos x< , то для рассматриваемых значений x выполняются неравенства 0 cos x<- sin x . Следовательно,
cos(cos x)> cos (- sin x)= sin(sin x), (2)

sin(cos x)< sin (- sin x)= cos(sin x). (3)
Из (2) получаем, что cos(cos(cos x))< cos(sin(sin x)) , поэтому cos(cos(cos x))+ sin(sin(sin x))< cos( sin(sin x))+ sin( sin(sin x))< , откуда cos(cos(cos x))<- sin(sin(sin x)) и, следовательно,
cos(cos(cos(cos x)))> cos(- sin(sin(sin x)))= sin(sin(sin(sin x))).
Пусть x (;π ) . Положим y=x- , тогда y (0,) , и неравенство (1) принимает вид
cos(cos(cos(sin y)))> sin(sin(sin(cos y))). (1')
Так как при y (0,) каждое из чисел cos sin y и sin cos y также принадлежит интервалу (0,) , то в силу (2) получаем, что cos(cos( cos(sin y)))> sin(sin( cos(sin y))) . Функция sin(sin t) , t(0,) , является возрастающей, поэтому в силу (3) имеем
sin(sin( cos sin y))> sin(sin( sin cos y)).
Неравенство (1') (а вместе с ним и неравенство (1)) доказано.

Ответ

Корней нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	95.5.10.1