ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



Задача 98452

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что выполняются два условия:
  а) длины отрезков – 1, 2, 3, ... , 50;
  б) концы отрезков – это все целые точки от 1 до 100 включительно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98453

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98454

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится нацело на самое левое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нёчётно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98455

Темы:   [ Неравенства для площади треугольника ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98461

Темы:   [ Системы точек ]
[ Теория алгоритмов ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

На прямоугольном листе бумаги отмечены
  а) несколько точек на одной прямой;
  б) три точки.
Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем один раз шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что это можно сделать так, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .