Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
Задача
98454
(#1)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9
|
Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке,
что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится нацело на самое левое число
этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если
последнее число строки нёчётно?
Задача
98455
(#2)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9
|
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти
площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек
A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
Задача
98456
(#3)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9
|
100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть
равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что
равновесие не нарушится.
Задача
98457
(#4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9
|
а) На каждом из полей верхней и нижней горизонтали шахматной доски 8×8 стоит по фишке: внизу – белые, вверху – чёрные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все чёрные фишки стояли внизу, а белые – вверху?
б) Тот же вопрос для доски 7×7.
Задача
98458
(#5)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9
|
Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности
одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома
получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]