ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98461
Темы:    [ Системы точек ]
[ Теория алгоритмов ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На прямоугольном листе бумаги отмечены
  а) несколько точек на одной прямой;
  б) три точки.
Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем один раз шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что это можно сделать так, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.


Решение

  а) Расположим прямую горизонтально и обозначим отмеченные точки слева направо по порядку: A1, A1, ..., An. Перегнём лист по серединному перпендикуляру к отрезку A1A2 так, чтобы правая сторона листа наложилась сверху на левую. Тогда точка A2 наложится на A1, а остальные отмеченные точки попадут в верхний слой и окажутся на той же прямой левее совпавших точек. Теперь перегнём верхний слой по серединному перпендикуляру к отрезку A2A3 так, чтобы левая сторона наложилась на правую. Тогда точка A3 наложится на A2 (и на A1), а остальные отмеченные точки попадут в самый верхний слой и окажутся на той же прямой правее совпавших точек. Теперь лист сложен в три слоя, и совпали три первые точки. Так будем перегибать верхний слой по серединному перпендикуляру к очередному отрезку по очереди налево и направо, пока после (n–1)-го перегибания в получившейся n-слойной "гармошке" все отмеченные точки не совпадут.

  б) Случай, когда отмечены три точки на одной прямой, разобран выше, поэтому можно считать, что отмеченные точки являются вершинами треугольника ABC. Далее, можно считать, что лист бумаги не прямоугольный, а почти совпадает по форме с треугольником ABC, лишь чуть-чуть выступая за его края (ширину каёмки уточним позднее). Это очевидно, можно обеспечить предварительным загибанием краёв.
  Пусть в треугольнике ABC есть неравные стороны, скажем  AB ≠ AC.  Тогда A не лежит на серединном перпендикуляре p к отрезку BC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно p. Она лежит вне треугольника ABC. Сделаем каёмку уже расстояния от A' до ближайшей стороны треугольника. Тогда при перегибании вдоль p точки B и C совместятся, а A ни с чем не совместится. Теперь достаточно перегнуть лист по серединному перпендикуляру к отрезку AB, чтобы совместить в точности три отмеченные точки, после чего проколоть.
  Остался случай равностороннего треугольника ABC. Достаточно его "испортить", то есть перегнуть один раз так, чтобы отмеченные точки оказались вершинами неравностороннего треугольника. Для этого сделаем каёмку ýже трети высоты треугольника и перегнём лист по прямой, параллельной AB и проходящей через точку пересечения медиан.

Замечания

баллы: 2 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .