Версия для печати
Убрать все задачи

---

Угол, образованный лучами  y = x  и  y = 2x  при  x ≥ 0,  высекает на параболе  y = x² + px + q  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

   Решение

---

Полиция задержала 50 человек, из которых 35 – преступники, которые говорят, что захотят, а 15 – свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники. Какое наименьшее число человек достаточно выбрать, чтобы спросив потом у каждого, кто именно преступники, по ответам вычислить хотя бы одного преступника?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q.
Докажите, что точки A, B', P, Q лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66314  (#10.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а O_a, O_b – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка O_aO_b лежит на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66315  (#10.2)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66316  (#10.3)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ω_A, ω_B, ω_C, ω_D – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через X_A произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим X_B, X_C, X_D. Докажите, что  X_A + X_B + X_C + X_D = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66317  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ] [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66318  (#10.5)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q.
Докажите, что точки A, B', P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями