|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q.
Докажите, что точки A, B', P, Q лежат на одной окружности.
Решение 1
Так как BP² = BQ² = BA·BC', а четырёхугольники AC'A'C и AB'A'B (AA' – третья высота) вписанные, получаем, что
CP·CQ = CB² – BP² = CB² – BA·BC' = BC² – BC·BA' = BC·CA' = CA·CB'. Это, очевидно, равносильно утверждению задачи.
Решение 2
Пусть точка C0 симметрична C' относительно B. Тогда BC0·BA = BC'·BA = BP² = BP·BQ, то есть точки A, P, Q, C0 лежат на одной окружности ω. Пусть H0 – точка этой окружности, диаметрально противоположная A. Тогда H0C0 ⊥ AB. Поэтому точка, симметричная H0 относительно B (то есть середины PQ), лежит на высоте CC'; кроме того, она лежит на высоте AA' треугольника APQ (поскольку средняя линия треугольника AH0A', параллельная AA', проходит через центр ω, а значит, и через точку B). Значит, точка H0 симметрична ортоцентру H треугольника ABC относительно B. Поэтому BH0·BB' = BH·BB' = BC'·BA = BC0·BA, что и означает, что B' также лежит на ω (см. рис.).
Замечания
По сути, мы воспользовалисть тем известным фактом, что C′ – проекция ортоцентра треугольника APQ на его медиану AB. Отсюда следует, что треугольники ABC и APQ имеют общий ортоцентр H.
