Задача 66314

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а O_a, O_b – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка O_aO_b лежит на прямой AB.

Решение

Пусть C′, D′ – точки касания окружностей с второй общей касательной. Углы ACD и ADC равны половинам дуг AC и AD соответствующих окружностей, а углы BCD и BDC – половинам дуг BC и BD, которые равны дугам C′A и D′A (см. рис.). Следовательно, сумма всех четырёх углов равна полусумме дуг C′AC и D′AD. Поскольку последняя дуга гомотетична дуге C′C, эта полусумма равна 180°. Значит, центры описанных окружностей треугольников CAD и CBD симметричны относительно CD, то есть середина отрезка O_aO_b совпадает с серединой CD, которая лежит на прямой AB (см. задачу 52779).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1