Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.

   Решение

---

В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

   Решение

---

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
  а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
  б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

   Решение

---

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

   Решение

---

Работу алгоритма Евклида (см. задачу 60488) можно представить следующим образом. В прямоугольник размерами  m₀×m₁  (m₁ ≤ m₀)  укладываем a₀ квадратов размера   m₁×m₁,  в оставшийся прямоугольник размерами  m₁×m₂  (m₂ ≤ m₁)  укладываем a₁ квадратов размера  m₂×m₂,  и т. д. до тех пор, пока весь прямоугольник не покроется квадратами. Выразите общее число квадратов через элементы цепной дроби числа  ^m₀/_m1.

   Решение

---

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30410  (#03.001)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60454  (#03.002)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108743  (#03.003)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60456  (#03.004)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60457  (#03.005)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найдите все простые числа p и q, для которых выполняется равенство  p² – 2q² = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями