Этапы:
-
Региональный этап
(29 задач)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Дан пятиугольник ABCDE. AB = BC = CD = DE,
B = D = 90o.
Доказать, что пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость.
Решение
Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.
Решение
Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит 360o . Решение
Решение
Докажите, что Решение
На плоскости расположено [
n] прямоугольников со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник
пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется
прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
Решение
Убрать все задачи
Дан пятиугольник ABCDE. AB = BC = CD = DE,
РешениеДаны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.
РешениеДокажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит 360o .
РешениеДаны три приведённых квадратных трехчлена: P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| имеет не более восьми корней.
РешениеДокажите, что
| x| + | y| + | z|
| x + y - z| + | x - y + z| + |-x + y + z|,
где x, y, z — действительные числа.
РешениеНа плоскости расположено [
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O –
центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO ,
точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка
K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне
BC такова, что 
CLO = BLM . Докажите, что
точки O , K , B , L лежат на одной окружности.
На плоскости расположено [ n] прямоугольников со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник
пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется
прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём
прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' ,
C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения
диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны
относительно середины средней линии трапеции ABCD .
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
Задача 108215 (#02.4.9.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 110102 (#02.4.9.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110103 (#02.4.9.5) |
|
|
Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
|
|
|
Решение |
Задача 108216 (#02.4.9.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110105 (#02.4.9.7) |
|
|
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
