ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108216
Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
[ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' , C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD .

Решение

Заметим, что точки A' , B' , C' и D' определяются единственным образом.

Пусть AD – большее, а BC – меньшее основание трапеции ABCD , M – середина её средней линии PQ (точка P лежит на стороне AB ). Пусть прямые CM и AD пересекаются в точке C' (рис.1). Поскольку MQ – средняя линия треугольника CC'D , то C'D = 2MQ = PQ .

Значит, SΔ CC'D = SABCD . Таким образом, точка C' – одна из четырёх точек, о которых говорится в условии задачи. При этом, т.к. AD – большее основание трапеции, то AD>PQ = C'D , т.е. точка C' лежит на отрезке AD .

Проведя прямую BM , можно аналогично построить точку B' . Она также окажется на основании AD .

Пусть прямая, проведённая через точку C' параллельно диагонали AC , пересекает сторону CD в точке A' (рис.2). Рассмотрим трапецию ACA'C' . Пусть её диагонали пересекаются в точке T . Поскольку треугольники ATC' и CTA' равновелики, то равновелики и треугольники CC'D и AA'D , причём площадь каждого из двух последних треугольников равна половине площади трапеции. Аналогично строится четвёртая точка D' .

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD соответственно параллельны диагоналям A'C' и B'D' четырёхугольника A'B'C'D' (рис.3), а т.к. середина M отрезка CC' равноудалена от прямых AC и A'C' (а также от прямых BD и B'D' ), то прямые A'C' и B'D' симметричны прямым AC и BD относительно середины M средней линии трапеции ABCD . Поскольку диагонали четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно точки M , то и точки их пересечения E и F симметричны относительно M .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6563
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.4.10.6
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 02.4.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .