Задача 108215
|
|
 |
Условие
В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O – центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO , точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне BC такова, чтоРешение
Пусть P – точка, симметричная точке O относительно прямой BC . Тогда
поэтому точка L лежит на отрезке MP . Пусть M'' – точка, симметричная точке M' относительно прямой BO . Тогда точка M'' симметрична точке M относительно середины Q стороны BC . Диагонали MM'' и OP четырёхугольника MPM''O делятся точкой пересечения Q пополам. Значит, MPM''O – параллелограмм, поэтому OM'' || MP . Если K' – точка, симметричная точке K относительно прямой BO , то K' лежит на отрезке OM'' . Тогда
Значит,
т.е. сумма противоположных углов BKO и BLO четырёхугольника OKBL равна 180o . Следовательно, этот четырёхугольник – вписанный, т.е. точки O , K , B , L лежат на одной окружности.
