Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108218  (#02.4.11.7)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Углы между биссектрисами ] [ Описанные четырехугольники ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы l_A , l_B , l_C , l_D внешних углов этого четырёхугольника. Прямые l_A и l_B пересекаются в точке K , прямые l_B и l_C – в точке L , прямые l_C и l_D – в точке M , прямые l_D и l_A – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110092  (#02.4.11.8)

Темы:   [ Системы точек ] [ Процессы и операции ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На отрезке  [0, N]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, N],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, N]?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109766  (#02.5.9.1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108135  (#02.5.9.2)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O₁, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O₂, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если  O₁A = O₂A,  то треугольник ABC равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109768  (#02.5.9.3)

Темы:   [ Системы точек ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями