Страница:
<< 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 273]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что 1/a + 1/b = 1/c. Докажите, что хотя бы одно из чисел a + c, b + c – составное.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Про натуральные числа $x$, $y$ и $z$ известно, что $\operatorname{НОД}(x,y,z) = 1$ и $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Докажите, что $x$, $y$ и $z$ – квадраты натуральных чисел.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Можно ли расставить во всех точках плоскости с целыми координатами
натуральные числа так, чтобы каждое натуральное число стояло в какой-нибудь
точке, и чтобы на каждой прямой, проходящей через две точки с целыми координатами, но не проходящей через начало координат, расстановка чисел была периодической?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0, 1] разбит на p + q одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1/p, 2/p, ..., p–1/p, 1/q, 2/q, ..., q–1/q.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.
Страница:
<< 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 273]
Фильтр
