Страница: 1 [Всего задач: 5]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
Про натуральные числа x, y и z известно, что НОД(x,y,z)=1 и x2+y2+z2=2(xy+yz+zx). Докажите, что x, y и z – квадраты натуральных чисел.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке
а) слева; б) в центре; в) справа?
(Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.)
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9
|
Фигурки из четырёх клеток называются тет-
рамино. Они бывают пяти видов (см. рис.). Существует ли
такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту
фигуру можно составить, используя тетраминошки только
выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.)
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9
|
Можно ли данную фигуру («верблюда») разбить
а) по линиям сетки;
б) не обязательно по линиям сетки
на 3 части, из которых можно сложить квадрат?

|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Назовём пару (m,n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если mn и (m+1)(n+1) – точные квадраты.
Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n>m, что пара (m,n) хорошая.
Страница: 1 [Всего задач: 5]